多元复合函数是高等数学中的重要概念,它由多个函数组合而成,求导时需要运用链式法则。本文将介绍多元复合函数的求导法则公式。
首先,我们来回顾一元函数的链式法则公式:若 $y=f(u)$,$u=g(x)$,则有 $\frac=\frac\cdot\frac$。这个公式告诉我们,当一个函数 $y$ 是由另一个函数 $u$ 和 $x$ 组合而成时,我们可以通过求导 $u$ 和 $y$ 分别对 $x$ 的导数,并将两个导数相乘得到 $y$ 对 $x$ 的导数。
对于多元函数 $z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$,如果 $x_i$ 都是一元函数,我们可以运用一元函数的链式法则公式求导。但是,如果 $x_i$ 是多元函数,我们需要运用多元函数的链式法则公式。
设 $y=f(u_1,u_2,\cdots,u_m)$,$u_i=g_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)$,则有:
$$
\frac=\sum_^\frac\cdot\frac
$$
其中,$\frac$ 表示 $y$ 对 $x_j$ 的偏导数,$\frac$ 表示 $u_i$ 对 $x_j$ 的偏导数。
这个公式的意义是,当一个多元函数 $y$ 是由多个函数 $u_i$ 和 $x_j$ 组合而成时,我们可以通过求导 $u_i$ 和 $y$ 分别对 $x_j$ 的偏导数,并将每个偏导数乘以相应的系数相加得到 $y$ 对 $x_j$ 的偏导数。
需要注意的是,多元复合函数的求导法则公式只适用于可导函数。如果函数不可导,我们需要寻找其他方法求导。
综上所述,多元复合函数的求导法则公式是:
$$
\frac=\sum_^\frac\cdot\frac
$$
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运用这个公式,我们可以方便地求解多元复合函数的导数,进一步应用于高等数学中的各种问题。
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